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學術英語寫作課的課程論文

Writer’s Memo

I actually let out a sigh of relief when I finished my draft. This was my first time writing such a long essay in English. Often, I found myself stuck halfway, with many ideas in my mind but struggling to express them smoothly with proper words. Someone said that writing an essay is like breathing: when you let go of distractions and get into the flow, words and logic will come out naturally. I tried that, and it worked pretty well.

  國家自然博物館，一次意外而充盈的沉浸體驗。

  之所以說“意外”，是我之前甚至未曾聽聞這座“國字頭”博物館的大名，更未動過到此參觀的念頭。小時候有一段時間喜歡翻閱百科全書，對這些已知的事物，親眼目睹它們的還原似乎並不那麽誘人。至少在選修這門課程之前我是這樣想的。

寒假入門一下 Python，主要關注語法特性。中英文可能混雜，塑料英語見諒。

加入了部分 CS50 的內容。

原版英文筆記見 https://cs50.harvard.edu/python/2022/notes/。

隱函數存在定理

首先考慮 $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 的最簡單情形。

若函數 $F(x,y)$ 在定義域區域 $D$ 內有連續的偏導數 $F_x,F_y$（i.e. $F \in C^1(D)$），且滿足如下條件：

1. $\exists x_0, y_0 \in D, \text{ s.t. } F(x_0, y_0) = 0$（存在零點）
2. $F_y(x_0, y_0) \neq 0$

則在 $x_0$ 的一個鄰域 $U(x_0, \delta)$ 內，存在函數 $y=y(x)$，使得

$$
F(x,y(x)) \equiv 0, \forall x \in U(x_0, \delta).(*)
$$
注：

• 由該定理的局部性，此處的定義域區域 $D$ 可縮減至 $(x_0, y_0)$ 的某個鄰域 $U((x_0, y_0),r)$ 內。
• 由數學分析的性質可證明，$y(x) \in C^1(x_0-\delta, x_0+\delta)$。
  此時由複合函數的鏈式法則，可得
  $$
  \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} = 0
  $$
  特別注意：
• 此處的 $\cfrac{\partial F}{\partial x}$ 實質上是 $F_1’$，因為有 $\cfrac{\partial F}{\partial x} \equiv 0$ （考慮 $F = F(x)$）。
• $\cfrac{\partial y}{\partial x} = \cfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f’(x)$ 。
  多元函數部分有嚴重的記號混用、濫用、異用的情況，後麵會盡可能詳細說明。

證明從略。
上方的條件 2 實質上是確認因變量唯一性的一種充分性條件。更形象地說，其確認了 $F(x,y)$ 的三維麵圖象與 $xOy$ 在局部的交集為線。

當擴充到多元多個函數時，可以用線性代數的知識判斷出主元關於自由變量的函數。不難猜測，此時給定函數方程的個數在一般下應該等於主元的個數。

設有 $(x_0,y_0,z_0)$ 使得 $F(x_0,y_0,z_0)=0,G(x_0,y_0,z_0)=0$。我們仍然要求函數是 $C^1$ 的。條件 1 顯然不再改變，此時我們引入 Jacobi 行列式來陳述條件 2。事實上，記 $J = \cfrac{\mathrm{D}(F,G)}{\mathrm{D}(u,v)}$ 為 F, G 的雅可比行列式，則 $J \ne 0$ 即為條件 2。

$f(x,y)=\cfrac{2xy}{x^2+y^2},f(0,0)=0$

2022 全創作概念輯《湖水》：整軌分軌並行式首創

“遊走於黑白分界，於幻夢再現真實”，如你所見，概念輯《湖水》。

概念輯《湖水》，內容很雜，熔鑄了對切近的思考，小到謊言與真摯的搏鬥、大到短視與杞人的爭執。事情有大有小，篇幅有長有短，道理有的淺顯有的隱晦，謎語有的有標答有的不設標答。

有人說，語言是思想的載體。而我則說，語言是思想的源泉。概念輯《湖水》，在文學性上下了一番工夫。

概念輯《湖水》，名字是率性而起，內容則精雕細琢，盡量不贅一字。

概念輯《湖水》，和之前的所有作品一樣，在探索中纂成，既是作者的摸索，也是讀者的物色。希望它擁有觸動人心的力量，使你沉浸在全開放的尋味之旅中，入口回綿。

概念輯《湖水》，Introducing…

整軌：水生

分軌：古船 | 透明的顏色 | 汪洋 | 梁山泊 | 黑夜 | 雪

好多好多的雪，一片一片的，有大有小。

它們擠在空氣裏。

有時候風停了，它們盤旋一會兒，便無可抗拒地被拉向地心，覆在枯兀的樹枝旁，蓋在黑褐色的山丘上。

有時候風大了，它們集結成束，近乎平行地麵地飛著。密密麻麻的細絲輕輕顫動，像填滿罅隙的琴弦。

它們還是要落在地上，躺在毫無新意的地方。規則的六角形，在觸到固體的刹那，便化為了飛灰。它們在嚴冬的蒼白的太陽裏升騰，變成交疊的球團，又回到沒有棱角的鬆仁。

我看到臨別的雪花，戀戀不舍地吻著空氣，像我所奢望的那樣。

什麽是逆元？

若 $ax \equiv 1 \pmod b$，則稱 $x$ 是 $a$ 關於模 $b$ 的逆元，常記做 $a^{-1}$。

上式等價於 $ax + by = 1$，因此，一種求逆元的方法就是利用擴歐解方程 $ax + by = 1$。

顯然，逆元不一定存在：其存在的充要條件為 $(a, b) = 1$。

推論：$p$ 是質數，$p$ 不整除 $a$，則 $a$ 模 $p$ 的逆元存在。

（2021.4.29 補記）

這篇遊記在去年十一月份開坑，一月份的時候正式寫完。

還記得得知判決的那個晚上，我咕掉作業抱著手機坐了一整晚，還和家長起了一些爭執。幾個月以後再回來看，心態也平和了許多吧。可能這段經曆不能帶給我別的什麽，也可能再過一段時間會為當時的選擇而自怨自艾，為什麽不最後衝一把，說不定就……

不過沒有如果了吧。到了現在早就沒有回頭路了，何況回頭路上還布著更跌宕的坎坷。@SiRiehn_nx 能夠逆天改命，又不代表你也可以，真以為自己行了啊。

上麵這些可能更多是寫給未來的自己的吧，提醒自己不要後悔，沒必要再去填補句號的空白。